SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Cuando una figura plana gira alrededor de un eje se obtiene un cuerpo de revolución.
Los tres cuerpos de revolución más importantes son:
Los tres cuerpos de revolución más importantes son:
- El Cilindro
El Cono
La Esfera.
Por necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir, construir o desplazarse, llevaron al hombre a hacer uso de las diversas propiedades de las figuras geométricas y, en muchos casos a formar “cuerpos” a partir de estas.
CILINDRO
Un cilindro, en geometría, es la superficie formada por los puntos situados a una distancia fija de una línea recta dada, el eje del cilindro. Como superficie de revolución, se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de otra fija llamada eje de revolución.
El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también se llamado cilindro.
En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquier superficie reglada generada por una familia uniparametrica de líneas paralelas.
El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del cilindro. Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se llaman generatrices.
Si “abrimos” un cilindro recto a lo largo de una generatriz, y lo extendemos en un plano, obtenemos dos círculos y una región rectangular. De esta manera se obtiene la red del cilindro recto.
ÁREA DEL CIRCULO: Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula:
Área lateral = perímetro de la base x altura
|
Alateral = 2 π r . h
|
El área lateral del cilindro está determinada por el área de la región rectangular, cuyo largo corresponde al perímetro de su base, es decir a 2 Π r, y cuyo ancho es la medida de la altura del cilindro, o sea h.
Para calcular su área total se emplea la siguiente fórmula:
Área total = área lateral + 2 x área de la base
|
Atotal = Alateral + 2Abase
|
le sumamos el área de las dos regiones circulares basales, obtenemos el área total del cilindro.
Entonces,
Atotal = 2 Π r h + 2 Π r2
Por lo tanto:
Atotal = 2 Π r ( h + r )
VOLUMEN DEL CILINDRO:Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cilindro = área de la base x altura
| |
Es decir,
| Vcilindro= Abase · h |
Vcilindro= Π r2 · h |
Para un cilindro circular, su volumen (V) es igual al producto del área del círculo basal por su altura (h).
REFORSEMOS LO QUE APRENDIMOS:
.
El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Ver revolución cono
Ponga aquí el ratón y podrá ver el desarrollo
del cono
Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:
AL = p · r · g |
ÁREA TOTAL
AT = AL + Ab |
VOLUMEN
V = Ab · h/ 3 |
REFORSEMOS LO QUE APRENDIMOS:
ESFERA:
Definición de superficie esférica
Una superficie esférica es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro.
Definición de esfera
Una esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica.
Elementos de la esfera:
Centro
Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera.
Radio
Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera.
Cuerda
Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.
Diámetro
Cuerda que pasa por el centro.
Polos
Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
Cálculo del radio de una esfera
Calculamos la radio de la esfera, conociendo la distancia de un plano que corta la esfera y el radio de la sección, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:
Área de la superficie esférica
Volumen de la esfera
Ejercicios de esferas:
Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.
Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?
Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.
REFORSEMOS LO QUE APRENDIMOS:
SUTTONIANOS:::::::::::
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Nombres y Apellidos: Area: Institucion Educativa: Grado y Seccion: N° de Orden | Chupan Apaza, LAURA Matematica Carlos W. Sutton 5°D 08 |
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