miércoles, 19 de septiembre de 2012

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN





Cuando una figura plana gira alrededor de un eje se obtiene un cuerpo de revolución.
Los tres cuerpos de revolución más importantes son:
- El Cilindro


El Cono

La Esfera.









Por necesidades prácticas, el desarrollo de técnicas usadas para medir, construir o desplazarse, llevaron al hombre a hacer uso de las diversas propiedades de las figuras geométricas y, en muchos casos a formar “cuerpos” a partir de estas.



CILINDRO

Un cilindro, en geometría, es la superficie formada por los puntos situados a una distancia fija de una línea recta dada, el eje del cilindro. Como superficie de revolución, se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de otra fija llamada eje de revolución.
El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también se llamado cilindro.
En geometría diferencial, un cilindro se define de forma general como cualquier superficie reglada generada por una familia uniparametrica de líneas paralelas.
El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del cilindro. Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se llaman generatrices.



Si “abrimos” un cilindro recto a lo largo de una generatriz, y lo extendemos en un plano, obtenemos dos círculos y una región rectangular. De esta manera se obtiene la red del cilindro recto.


ÁREA DEL CIRCULO:      Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula: 

Área lateral = perímetro de la base x altura
Alateral = 2 π r . h


El área lateral del cilindro está determinada por el área de la región rectangular, cuyo largo corresponde al perímetro de su base, es decir a 2 Π r, y cuyo ancho es la medida de la altura del cilindro, o sea h.

Para calcular su área total se emplea la siguiente fórmula:

Área total = área lateral + 2 x área de la base
Atotal = Alateral + 2Abase


le sumamos el área de las dos regiones circulares basales, obtenemos el área total del cilindro.
Entonces,
Atotal = 2 Π r h + 2 Π r2
Por lo tanto:
Atotal = 2 Π r ( h + r )



 
VOLUMEN DEL CILINDRO:Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:

 
Volumen del cilindro = área de la base x altura
Es decir,
Vcilindro= Abase · h

Vcilindro= Π r2 · h




Para un cilindro circular, su volumen (V) es igual al producto del área del círculo basal por su altura (h). 
REFORSEMOS LO QUE APRENDIMOS:






CONO

Cono .
     El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Ver revolución cono
 
    Ponga aquí el ratón y podrá ver el desarrollo
del cono
 
    Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:
ÁREA LATERAL
AL = p · r · g
 
(Es decir, es área lateral es igual a p (pi)multiplicado por el radio (r) de  la base  y multiplicado por  la generatriz ( g ) del cono)


ÁREA TOTAL
 
AT = AL +  Ab
 
(Es decir, el área total es igual al área lateral mas el área del circulo de la base)


VOLUMEN
 
V = Ab · h/ 3
 
(Es decir, el volumen es igual al área del circulo de  la base multiplicado por la altura ( h ) del cono y dividido entre 3)

   
REFORSEMOS LO QUE APRENDIMOS:






ESFERA:

Definición de superficie esférica

Una superficie esférica es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro.

Definición de esfera

Una esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica.

Elementos de la esfera:

Elementos de la esfera

Centro

Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera.

Radio

Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera.

Cuerda

Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.

Diámetro

Cuerda que pasa por el centro.

Polos

Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

Cálculo del radio de una esfera

radio de una esfera

Calculamos la radio de la esfera, conociendo la distancia de un plano que corta la esfera y el radio de la sección, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

radio de una esfera
radio de una esfera
esfera

Área de la superficie esférica

Área de la superficie esférica

Volumen de la esfera

Volumen de la esfera

Ejercicios de esferas:

Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.
radio de una esfera


radio de una esfera
radio de una esfera
Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio?
solución
solución
solución
Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.
esfera inscrita en un cilindro


área de la esfera
volumen de la esfera

REFORSEMOS LO QUE APRENDIMOS:




SUTTONIANOS:::::::::::


SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
TEMA:
SOLIDOS DE REVOLUCION
Nombres y Apellidos:
Area:
Institucion Educativa:
Grado y Seccion:
N° de Orden
Chupan Apaza, LAURA
Matematica
Carlos W. Sutton
5°D
08

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